Что показывает площадь

Содержание

• Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?
• ПЛОЩАДЬ
• Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts
• Площадь
• 8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольника
• Как найти площадь фигуры
• Обозначение площади
• Круг
• Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?
• Треугольник
  • 1. Если известна сторона и высота.
  • 2. Если известны две стороны и синус угла.
  • 3. Если есть радиус описанной окружности.
  • 4. Если есть радиус вписанной окружности.
• Прямоугольник
• Квадрат
• Трапеция
• Параллелограмм и ромб
  • Похожие статьи

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

ПЛОЩАДЬ

— численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр., многоугольникам) и обладающая следующими свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в случае многоугольников это означает, что если фигура Q, не имеющих общих внутренних точек, то пл. ( Р+пл. Q;3) П. сохраняется при перемещениях; 4) П. единичного квадрата равна 1. Термин «П.» употребляется также в более широком смысле как численная характеристика, сопоставляемая двумерным поверхностям в трехмерном пространстве; k-мерным поверхностям в n-мерном

Площадь плоской фигуры. Исторически П. определялась сначала на классе многоугольников (фигур, допускающих разбиение на конечное число треугольников без общих внутренних точек). Существенно, что на классе многоугольников П. со свойствами 1) — 4) существует и единственна (см. [1], [2]). Одним из следствий свойств 1) — 4) является то, что П. всей фигуры не меньше П. ее части.

В древности существование и единственность П. со свойствами 1) — 4) принимались без ясного описания класса рассматриваемых фигур; внимание сосредоточивалось на приемах вычисления П. Формула для П. прямоугольника, в том числе с иррациональными сторонами, обосновывалась исчерпывания методом. П. треугольника и произвольных многоугольников вычислялась как П. равносоставленного с ними прямоугольника. Доказано, что любые многоугольники равной П. равносоставлены (см. [2]).

Затем был выделен класс квадрируемых (измеримых по Жордану) фигур. Фигура Мна плоскости наз. квадрируемой, если для любого e>0 существуют такие многоугольные фигуры Ри Q, что Q — пл. Р)

Исторически до рассмотрения класса квадрируемых фигур умели вычислять П. нек-рых из них — круга, кругового сектора и сегмента, различного рода лунок, криволинейных трапеций. Эти вычисления обосновывались методом исчерпывания многоугольниками. В ряде случаев для обоснования таких вычислений привлекался Кавальери принцип, состоящий в том, что если две плоские фигуры указанного типа пересекаются каждой прямой, параллельной фиксированной прямой, по отрезкам одинаковой длины, то эти фигуры имеют равную П. Средства интегрального исчисления (см., напр., [3]) дают удобные приемы для вычисления П. любых плоских областей с кусочно гладкими границами. Эти средства обосновывают также принцип Кавальери.

Стремление распространить понятие П. на более общие плоские множества с сохранением свойств 1) — 4) ведет к теории меры, к выделению класса плоских множеств, измеримых по Лебегу. Переход к еще более общим классам множеств на плоскости приводит уже к неединственным мерам со свойствами 1) — 4).

Ориентированная площадь. Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая I, быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на l точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), наз. степенью точки относительно I. Она показывает сколько раз и в какую сторону контур lобходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, наз. охватываемой lориентированной П. Последняя, в отличие от обычной П., имеет знак.

О простейших свойствах ориентируемой П. см. [4].

Площадь поверхности. Проще всего определяется П. многогранных поверхностей: как сумма П. плоских граней. Попытка ввести понятие П. кривых поверхностей как предела П. вписанных многогранных поверхностей (подобно тому, как длина кривой определяется как предел вписанных ломаных) встречает трудность. Даже для весьма простой кривой поверхности П. вписанных в нее многогранников со все более мелкими гранями может иметь разные пределы в зависимости от выбора последовательности многогранников.

Это наглядно демонстрирует известный пример Шварца, в к-ром последовательности вписанных многогранников с разными пределами П. строятся для боковой поверхности прямого кругового цилиндра (см. [2]).

Чаще всего П. поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем (или без края). Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие части с кусочно гладкими границами: в каждой части выбирают точку, в к-рой существует касательная плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке; П. полученных плоских проекций суммируют; наконец, переходят к пределу при все более мелких разбиениях (таких, что наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю). На указанном классе поверхностей этот предел всегда существует, и если поверхность задана параметрически кусочно С 1 -гладкой функцией r( и, v), где параметры и, v изменяются в области Dна плоскости ( и, v), то площадь Fвыражается двойным интегралом

где g 11 =r 2 u , g 12 =r u r v g 22 =r 2 v , а r u и r v — частные производные по ии v. Доказательство см., напр., в [3], [5]. В частности, если поверхность есть график С 1 -гладкой функции z=f(x, у).над областью Dна плоскости ( х, у), то

Здесь Oz. На основе формул (1), (2) выводятся известные формулы для П. сферы и ее частей, обосновываются приемы для вычисления П. поверхностей вращения и т. п.

Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях [6] формула (1) служит определением П., при этом роль g₁₁, g₁₂, g₂₂ играют составляющие метрич. тензора самой поверхности.

Существенно, что уже в случае двумерной поверхности П. приписывается не множеству точек, а отображению двумерного многообразия в пространство и тем отличается от меры. k-м ерная площадь. Для кусочно гладкого погружения , П. определяют с помощью конструкции, вполне аналогичной описанной выше для кусочно гладких поверхностей. Разница состоит в том, что проектирование ведется на k-мерные касательные плоскости и суммируются k-мерные объемы проекций. Если в области и 1 , . . ., u k , то площадь F погружения (D, f| D ]выражается интегралом

g ij — скалярные произведения k=n-1 и D — область на координатной гиперплоскости (x 1 , . . ., x n-1 ), а /допускает явное задание х n =z(x 1 , . . ., x n-1 ), то формула (3) принимает вид

(4)

Если отображение f гладкое, то g ij — коэффициенты метрич. тензора, индуцированного погружением, и из (3) следует, что П., определяемая внешней конструкцией, принадлежит внутренней геометрии погруженного многообразия. Иногда равенство (3) принимают за определение П., напр, в случае погружения не в R n , а в риманово многообразие.

На классе кусочно гладких погруженных многообразий П.: а) неотрицательна; б) равна 1 на k-мерном единичном кубе в при равномерной сходимости есть нерастягивающее отображение, то — набор из Р i — проектирование на P i , то

Дальнейшие обобщения. Теория площадей. Распространение функции Fна более общие объекты с сохранением хотя бы части их свойств а) — ж) может осуществляться разными путями и вести к разным результатам. Изучение таких обобщений составляет предмет теории П. Обзор соотношений разных понятий П. см. в [10].

Граница между теорией П. и теорией меры довольно условна. По традиции к теории П. относят в первую очередь изучение П. непрерывных отображений, где учитывается кратность и меньшую роль играет сохранение аддитивности. О k-мерных мерах в n-мерном пространстве см., напр., Хаусдорфа мера, Фавара мера.

Ту или иную П. можно вводить на основе аппроксимативного, интегрально геометрического, функционального подхода, либо — аксиоматически. Ниже приведены наиболее распространенные понятия.

Площадь по Лебегу (см. [7], [9]) определяется равенством

где М — конечно триангулируемое k-мерное многообразие; есть k-мерная П. соответствующей полиэдральной поверхности. П. по Лебегу одинакова для эквивалентных по Фреше отображений и потому является характеристикой Фреше поверхности. В случае k=2 условие влечет ряд полезных свойств поверхности (напр., возможность введения изотермич. параметров); в этом случае П. по Лебегу оказалась удобным инструментом, достаточным для решения Плато задачи и более общих двумерных задач вариационного исчисления. При k>2 исследование вариационных задач в классе непрерывных отображений столкнулось с трудностями (в проблеме компактности), что заставило обратиться к поиску других объектов (потоки и вариобразия) и связанных с ними характеристик типа П. Использование П. по Лебегу ограничивается также сложностью, с к-рой устанавливаются ее связи с другими понятиями П. и нек-рые ее свойства (напр., правое из неравенств (5)). Следует отметить две особенности L(M, f): во-первых, при L(M, f)=0 может оказаться, что объем V(f(M))>0; во-вторых, даже при k=2 для разбиения Мна M 1 и M 2 с общей границей в виде кривой может оказаться

где G(n, k) — Грассмана многообразие k -мерных подпространств v — нормированная Хаара мера на G(n, k), p s — ортогональное проектирование на М,j, у).приводит для триангулируемых М к совпадению (8) с П. по Лебегу при k=2, а также при k>0 в случае равенства нулю меры Хаусдорфа H k+1 (f(М)) (см. [9]). Для случая k=2 различные интегрально геометрические П. вводились еще Пеано, Гецем, Банахом (см. [7]).

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Площадь границы множества. В связи с доказательством неравенства Брунна — Минковского и классического изопериметрич. неравенства была введена П . по Минковскому. Она приписывается множеству

где В — единичный шар в V — объем. Для множеств Ас кусочно гладкой границей и для выпуклых Ав (9) существует обычный предел, совпадающий с (n-1)-мерной П. границы. Определение (9) сохраняет смысл для множеств в конечномерных нормированных пространствах, где даже для выпуклых Азначение П. (9) может отличаться от меры Хаусдорфа Н п-1 ( дА). Другой полезной характеристикой, аналогичной П., к-рая сопоставляется множеству, но характеризует в основном его границу, является периметр измеримого множества.

Он является частным случаем понятия массы потока.

Внутренняя площадь. Если Мметризовано и H k (M). Когда М — двумерное многообразие ограниченной кривизны, то L(M, f)=Н 2 (М). Вообще же непрерывное , обобщенную метрику r, отличающуюся возможностью M, f) (см. [11]).

||T M || и ||V M || совпадают с П., то есть с F(M). Включение класса кусочно гладких подмногообразий пространства

Среди всех потоков и вариобразий выделяют широкие классы целочисленных потоков и вариобразий. Последние сохраняют многие геометрич. свойства подмногообразий. Напр., целочисленный поток есть поток, допускающий представление n i — целые числа, a M i суть С 1 -гладкие подмногообразия, при условии, что конечна масса (k-1)-мерного потока dT, определяемого равенством dT(j)=Т(dj). Массы целочисленных потоков и вариобразий можно рассматривать как обобщения понятия П. поверхности.

И здесь есть связь с П. по Лебегу. Пусть кусочно гладкие отображения и слабо сходятся к нек-рому целочисленному вариобразию V f , причем ||V f ||=L( М, f). Тем самым каждому V f с массой L(M, f); на языке потоков об этом см. в [13].

Лит.:[1] Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960; [2] Энциклопедия элементарной математики, т. 5, М., 1966; [3] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [4] Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 11)56; [5] IIогорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; [6] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [7] Сеsаri L., Surface area, Princeton, 1956; [8] Federer H., Geometric measure theory, В.- Hdlb.- N. Y., 1969; [9] Federer H., «Bull. Amer. Math. Soc.», 1952, v. 58, № 3, p. 306-78; [10] Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Геометрические неравенства, Л., 1980; [11] Busemann H., «Ann. Math.

2 ser.», 1947, v. 48, p. 234-67; [12] Almgren F. J., The theory of yarifolds, Princeton, 1965; [13] Federer H.,»Trans. Amor. Math. Soc.», 1961 v. 98, № 2, p. 204-33.

Ю. Д. Бурого, В. А. Залгаллер, Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Площадь

одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление П. было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до нашей эры греческие учёные располагали точными правилами вычисления П., которые в «Началах» Евклида (См. Начала Евклида) облечены в форму теорем. При этом П. многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании.

Для вычисления П. фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме Исчерпывания метода.

Теория П. плоских фигур, ограниченных простыми (т. е. не пересекающими себя) контурами, может быть построена следующим образом. Рассматриваются всевозможные многоугольники, вписанные в фигуру F, и всевозможные многоугольники, описанные вокруг фигуры F. (Вычисление П. многоугольника сводится к вычислению П. равновеликого ему квадрата, который может быть получен посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей.) Пусть i> — числовое множество П. вписанных в фигуру многоугольников, a d> — числовое множество П. описанных вокруг фигуры многоугольников. Множество i> ограничено сверху (площадью любого описанного многоугольника), а множество d> ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел , ограничивающее сверху множество i>, называется нижней площадью фигуры F, а наибольшее из чисел

Аналитически П. плоской фигуры может быть вычислена с помощью интегралов. Пусть фигура F — т. н. криволинейная трапеция (рис. 1) — ограничена графиком заданной на сегменте [a, b] непрерывной и неотрицательной функции f (x), отрезками прямых х = а и х = b и отрезком оси Ox между точками (а, 0) и (b, 0). П. такой фигуры может быть выражена интегралом

П. фигуры, ограниченной замкнутым контуром, который встречается с параллелью к оси Оу не более чем в двух точках, может быть вычислена как разность П. двух фигур, подобных криволинейной трапеции. П. фигуры может быть выражена в виде двойного интеграла:

где интегрирование распространяется на часть плоскости, занятой фигурой.

Теория П. фигур, расположенных на кривой поверхности, может быть определена следующим образом. Пусть F — односвязная фигура на гладкой поверхности, ограниченная кусочно гладким контуром. Фигура F разбивается кусочно гладкими кривыми на конечное число частей Ф_i, каждая из которых однозначно проектируется на касательную плоскость, проходящую через точку M_i, принадлежащую части Ф_i, (рис. 2). Предел сумм площадей этих проекций (если он существует), взятых по всем элементам разбиения, при условиях, что максимум диаметров этих элементов стремится к нулю и что он не зависит от выбора точек M_i, называется площадью фигуры F. Фигура на поверхности, для которой этот предел существует, называется квадрируемой. Квадрируемыми являются кусочно гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности.

П. всей поверхности слагается из П. составляющих её частей.

Аналитически П. фигуры F на поверхности, заданной уравнением z = f (x, у), где функция f однозначна и имеет непрерывные частные производные, может быть выражена следующим образом

Здесь G — замкнутая область, являющаяся проекцией фигуры F на плоскость Оху, ds — элемент площади на поверхности.

Об обобщении понятия П. см. Мера множеств (См. Мера множества).

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1—2, М., 1970; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73.

Рис. 1 к ст. Площадь.
Рис.

2 к ст. Площадь.
II Пло́щадь

открытое, архитектурно организованное, обрамленное какими-либо зданиями, сооружениями или зелёными насаждениями пространство, входящее в систему других городских пространств. Предшественниками городских П. были парадные дворы дворцовых и храмовых комплексов Крита, Египта, Вавилонии, Ассирии. Их прямоугольный план и периметрическую застройку унаследовали древнегреческие агоры (См. Агора) и древнеримские Форумы.

Столь же замкнутый характер (при почти всегда нерегулярном плане) имели П. европейских городов 12—14 вв.; главные П. были торговые П. В эпоху Возрождения создавались обычно П. с очертаниями в виде правильной геометрической фигуры (прямоугольник, трапеция); большое значение приобрели П. для гражданских собраний со зданием городского управления и лоджией (См. Лоджия) для заседаний патрициата. Барокко вводит в практику градостроительства круглые, многоугольные и сложных очертаний П.

Большую общественную и градостроительную роль играли кремлёвские, торговые, соборные П. в русских средневековых городах. В 18 в. получили широкое распространение П. с открытой пространственной композицией. Выдающиеся образцы П. различного назначения были созданы архитекторами русского классицизма в последней трети 18 — 1-й трети 19 вв.

В современном градостроительстве городские П. делятся на два типа: транспортные и пешеходные. Транспортные П. выполняют функции узлов движения городского транспорта; П. с большой интенсивностью движения иногда сооружают в нескольких ярусах (на поверхности земли, подземные, надземные) для развязки движения транспорта в разных уровнях. Транспортные П. часто имеют конкретное специализированное назначение: например, вокзальные П. (на которых должны быть разделены потоки пассажиров, направляющихся на посадку и прибывающих), П. с обширными стоянками автомобилей перед крупными заводами, стадионами, зрелищными и выставочными сооружениями (на таких П. должны быть разделены потоки людей, направляющихся на работу или в зрелищные учреждения, и потоки людей, возвращающихся обратно). П., предназначенные преимущественно для движения пешеходов, также могут иметь специализированное назначение: главные П. — парадный и представительный центр города, театральные, торговые, мемориальные (в честь больших исторических событий, выдающихся государственных деятелей, учёных, мастеров искусства). Такие П., в композицию которых зачастую включаются произведения монументальной скульптуры и живописи, иногда являются выдающимися архитектурными ансамблями и в значительной мере определяют облик населённых мест. Главные П. или системы главных П., являющиеся ядром центра города, обычно имеют большие размеры и наиболее впечатляющую, монументальную застройку (например, здания общегосударственных и городских учреждений); здесь проводятся парады, праздничные демонстрации, митинги, народные гуляния. В современном градостроительстве вблизи парадных, главных П., на которых размещены здания, привлекающие значительное число работающих, зрителей, посетителей и пр., размещают специальные транспортные П. для временной стоянки автомобилей.

П. различного назначения могут иметь озеленение в центральной части (преимущественно партерное; см. Партер) или по периметру, либо смешанное. В садово-парковых П. партерная часть обычно сочетается с деревьями и кустарниками, кронам которых стрижкой придают определённую геометрическую форму, или с естественными куртинами зелёных массивов, обрамляющих П. См. также статьи Градостроительство, Дворцовая площадь, Искусств площадь, Красная площадь, Марсово поле, Островского площадь.

8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольника

Лит.: Брикман А. Э., Площадь и монумент как проблема художественной формы, М., 1935; Бунин А. В., История градостроительного искусства, т. 1, М., 1953; Баранов Н. В., Композиция центра города, [М., 1964]; Основы советского градостроительства, т. 2, 4, М., 1967—69.

Н. В. Баранов.

Площадь св. Петра в Риме. 1657—63. Архитектор Л. Бернини.

План.

Ансамбль площади Островского и улицы зодчего Росси в Ленинграде. 1816—34. Архитектор К. И. Росси. План.

Н. де Шатийон. Королевская площадь (ныне площадь Вогезов) в Париже. 1606—2 (фрагмент из плана Тюрго. 1734—39).

Обстроена зданиями с одинаковыми фасадами. В центре монумент Людовика XIII.

Планы площадей в городах Западной Европы в 16—19 вв. 1. Пьяцца делла Синьория во Флоренции: а — Палаццо делла Синьория (начато в 1298); б — улица Уффици (1560—1585); в — Лоджия деи Ланци (около 1376—80); г — статуя «Давид» (1501—04); д — фонтан Нептуна (1575). 2. Пьяцца Сан—Марко и Пьяццетта в Венеции: а — собор Сан—Марко (829—832, перестроен в 1073—95); б — Дворец дожей (строился с 9 в.); в — Старая библиотека Сан—Марко (1536—54, окончена в 1583); г — кампанила (888—1517); д — Старые Прокурации (1480 и 1511—14); е — Новые Прокурации (1584—1611 и 1640); ж — колонны из гранитных монолитов, привезённых в 1127 из Египта. 3. Пьяцца Санта—Мария делла Паче в Риме.

Середина 17 в. Архитектор Пьетро да Кортона (1 — церковь Санта—Мария делла Паче, 1480-е гг.).

Планы площадей в городах Западной Европы в 16—19 вв. 4. Пьяцца дель Пополо в Риме: 1—1 — улица Виа дель Корсо (восходит к античному периоду); 2—2 — улица Виа дель Бабуино (проложена в 1534—49); 3—3 — улица Виа ди Рипетта (пробита в 1513—21); 4 — обелиск (1589); 5 — церковь Санта-Мария деи Мираколи (1662); 6 — церковь Санта—Мария ин Монте Санто (1662); 7 — рампы (1816—20); 8 — терраса Пинчо (1816—20). 5. Королевская площадь (ныне площадь Биржи) в Бордо. 1728. Архитекторы Ж. Габриель и Ж. А. Габриель (1 — набережная; 2 — монумент Людовика XV)

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .

Как найти площадь фигуры

В мире геометрии фигуру определяют как множество точек на плоскости, часть плоскости или кривой поверхности, ограниченной со всех сторон. В реальной жизни мы окружены многообразием предметов, которые можно назвать фигурами: мобильный телефон, холодильник, летучий змей. В этой статье расскажем, как искать площадь разными способами.

· Обновлено 21 октября 2022

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Круг

Круг — это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью, удаленных от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

1. S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
2. S = &pi × d 2 : 4;, где d — это диаметр.
3. S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных тремя отрезками. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 × a × b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a × b × с) : (4 × R), где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

1. S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.
2. S = a × √(d 2 — а 2 ), где а — известная сторона, d — диагональ. Диагональ — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов. Она есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.
3. S = 0,5 × d 2 × ������(��), где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

1. S = а 2 , где a — сторона квадрата.
2. S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = 0,5 × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны под прямым углом.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Расскажем про общие формулы расчета площади этих фигур.

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
3. Для ромба: S = 0,5 × (d₁ × d₂), где d₁, d₂ — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d₁ × d₂) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

Похожие статьи

• Что показывает мощность электрического тока

  Урок 163 (осн). Работа и мощность электрического тока СИ: $t = 600 \space с$ Работа и мощность электрического тока Если к потребителю электрической…